Corso di Geometria e Algebra
Corso di Laurea: Bioingegneria, Università di Pavia
CFU: 6
Esiti SCRITTO del 27 settembre 2019
ATTENZIONE: gli ORALI si terranno mercoledì 2 in sala riunioni al piano C del Dipartimento di Matematica dalle ore 9 in ordine di matricola.
Per confermare l'orale o dichiarare che non volete presentarvi, segnalare problemi o altre comunicazioni mandatemi una mail*
Se volete VEDERE GLI SCRITTI potete venire durante gli orali.
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Lezioni: mercoledì 11-13 aula EF1, giovedì 11-13 aula EF1, venerdì 14-15 aula EF1
Tutorato: tenuto da Elisa Setti e Erick Turricelli, mercoledì 14-16, aula EF1, a cominciare da mercoledì 10 ottobre.
Elenco esercizi che verranno svolti di volta in volta.
Ricevimento:
Il ricevimento si svolge nel mio studio (C-23 secondo piano del Dipartimento di Matematica) durante le settimane di lezione su appuntamento scrivendomi un'e-mail*. In linea di massima un giorno buono è il giovedì 14-15.
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Obiettivi formativi: il corso si propone di fornire agli studenti le nozioni e gli strumenti tecnici di base dell’Algebra Lineare e della Geometria Analitica. In particolare l'obiettivo è che dal punto di vista teorico gli studenti abbiano compreso i concetti di spazio vettoriale, sottospazio, base e dimensioni, matrici e loro determinante, sistemi lineari e loro risolubilità, applicazioni lineari, diagonalizzabiltà, prodotto scalare, forme quadratiche e loro segnatura. Dal punto di vista pratico lo studente deve arrivare a saper risolvere esercizi elementari su geometria anlitica nello spazio, spazi vettoriali, sistemi lineari, matrici, applicazioni lineari, diagonalizzazione e calcolo della segnatura.
Prerequisiti: i prerequisiti coincidono con i contenuti del Precorso di Matematica:
1. Elementi di calcolo algebrico e polinomiale. Polinomi: somma, prodotto, divisibilità e fattorizzazione - Equazioni algebriche di primo e secondo grado - Teorema di Ruffini.
2. Fondamenti di Geometria Analitica piana. Coordinate nel piano - Rappresentazione analitica di rette, circonferenze, parabole, ellissi, iperboli.
3. Concetto di funzione e di suo grafico. Esempi elementari - Funzione esponenziale e funzione logaritmica.
4. Elementi di Trigonometria. Seno, coseno, tangente - Equazioni goniometriche.
5. Disequazioni.
Programma di base del corso:
0. (Prerequisiti e complementi)
1. Vettori applicati e geometria dello spazio tridimensionale.
2. Spazi vettoriali. Sottospazi. Basi e dimensione.
3. Matrici. Matrici quadrate, invertibilità. Determinante.
4. Sistemi lineari e loro risolubilità.
5. Applicazioni lineari. Matrice rappresentativa. Matrici del cambiamento di base.
6. Diagonalizzazione di operatori lineari. Autovalori e autospazi. Similitudine tra matrici.
7. Struttura metrica negli spazi vettoriali. Teorema spettrale.
8. Forme quadratiche e loro applicazioni.
Programma svolto in dettaglio (aggiornato settimanalmente)
Link al Programma svolto dal Prof. Bisi l'anno passato (2017/18): svolgeremo lo stesso programma.
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Materiale didattico consigliato:
Principale testo di riferimento:
Fulvio Bisi, Francesco Bonsante, Sonia Brivio: Lezioni di Algebra Lineare con Applicazioni alla Geometria Analitica.
Edizioni La Dotta - Casalecchio di Reno (BO)
(il testo contiene anche molti esempi molto dettagliati)
Per ulteriori approfondimenti delle tematiche del corso si consigliano:
M. Grieco, B. Zucchetti, Algebra Lineare e Geometria Analitica, Ed. Goliardica Pavese (1997)
M. Abate , C. de Fabritiis,“Geometria analitica con elementi di algebra lineare”, Ed. McGraw-Hill Italia, Milano.
M. Abate, Algebra Lineare, Ed. Mc Graw Hill (2000).
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Esercizi
Vecchia raccolta di esercizi: i tutori prendono esercizi da questo documento.
Attenzione che ci sono alcuni refusi.
Nuova
Raccolta di alcuni esercizi.
Esercizi di preparazione al compito:
Testo1 Soluzioni,
Testo2 Soluzioni
Vecchi
temi d'esame con e senza soluzioni.
Testi dei temi d'esame (con soluzioni):
Tovate TUTTI I TEMI D'ESAME sia con che senza soluzioni DAL 2013 ad OGGI a questo link della pagina del professor Ghigi.
Qui metto qualche risoluzione dettagliata, per aiutarvi nella preparazione.
Sul
sito del Prof. F. Bonsante e sul
sito del prof. A. Ghigi trovate il catalogo completo degli esercizi degli ultimi anni, con e senza soluzioni.
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Il corso si svolge in parallelo agli altri corsi di Geometria ed Algebra tenuti dai Proff. Bisi, Bonsante e Ghigi. Trovate altro materiale didattico nel
sito del Prof. F. Bisi, nel
sito del Prof. F. Bonsante (per i vecchi temi d'esame seguire i link Didattica > Geometria e Algebra > Esami) o nel
sito del prof. A. Ghigi.
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ESAME: L'esame consta di una prova scritta (composta da una parte più teorica e da una parte di esercizi) e eventualmente di una prova orale secondo le seguenti regole:
SCRITTO: all’inizio dello scritto agli studenti verranno consegnati due fogli prestampati. Tutti i risultati andranno riportati sui fogli prestampati. Verranno ritirati solo i fogli prestampati; non verranno ritirati fogli contenenti la brutta o riportanti separatamente i risultati.
- Il primo foglio contiene al massimo 10 (tipicamente 8) domande di comprensione e/o di definizione su argomenti base in parte a risposta chiusa (ossia, le cui risposte esatte devono essere individuate all’interno di un elenco predisposto), in parte a risposta aperta (ossia, in cui lo studente deve rispondere per esteso al quesito posto, per esempio enunciando un teorema e fornendone una dimostrazione).In linea di massima, in questa prima parte i calcoli richiesti saranno molto ridotti, mentre sarà necessario padroneggiare tutte le definizioni base, anche per evitare calcoli onerosi.
- La seconda parte contiene di norma 4 esercizi, a risposta a perta, in cui lo studente deve dimostrare di saper fare alcuni semplici calcoli su:
--geometria euclidea nello spazio (rette, piani e loro equazioni, distanze);
--sottospazi, (unuone, intersezione, equazioni parametriche e cartesiane, basi, formula di Grassmann);
--sistemi lineari (anche con parametro), risolubilità (Rouché -Capelli), struttura e dimensione dello spazio lineare delle soluzioni;
--applicazioni lineari (sottospazi ker e immagine, relazioni con iniettività e suiriettività, teorema delle dimensioni, determinazione di metrice associata rispetto a basi opportune)
--diagonalizzazione di operatori lineari e matrici (polinomio caratteristico, autovalori, e autovettori, autospazi, diagonalizzabilità);
--diagonalizzazione di matrici simmetriche e calacolo della segnatura e della forma canonica di forme quadratiche su R^n;
--sottospazio complemento ortogonale e sue basi ed equazioni, coordinate di vettori rispetto a basi ortonormali.
La prova scritta ha durata complessiva di 2 ore e 30 minuti. Il primo foglio viene ritirato dopo 60 minuti (1h), mentre il secondo foglio dopo 2 ore e mezzo complessive dall’inizio della prova (ossia, dopo 1h30m dal ritiro del foglio con le domande di teoria).
La prima parte permette di ottenere al massimo 12 punti, la seconda al massimo 24 punti, secondo la distribuzione che verrà comunicata per ciascuna prova.
Per la valutazione della parte di esercizi, sarà necessario ottenere almeno 6 punti sulla prima parte; per il superamento della prova scritta si richiedono almeno 18 punti su 36, complessivamente, con almeno 2 esercizi svolti in modo pressoché corretto.
I punteggi ottenuti verranno convertiti in una valutazione in trentesimi.
Qualche giorno dopo l'elenco degli esiti (con i numeri di matricola) verrà pubblicata su quesa pagina.
ORALE: L’orale è comunque obbligatorio per il candidato che ottiene allo scritto un punteggio compreso fra 15/30 e 18/30. Lo studente che totalizza un punteggio di almeno 18/30 può essere esentato dall’orale, seguendo il presente schema:
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se il punteggio totale è minore o uguale a a 26/30, si può -di regola**- optare per la registrazione diretta del punteggio come voto d’esame, o sostenere facoltativamente la prova orale (mandatemi una mail*);
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se il punteggio totale è maggiore di 26/30, si può -di regola**- optare per la registrazione dell’esame con il voto 26/30, o sostenere la prova orale; solo in questo caso è possibile ottenere una valutazione finale superiore a 26/30 (mandatemi una mail*)
A seguito dell’esame orale, l’esame potrà essere riprovato (ossia, lo studente potrà essere bocciato) o la valutazione finale potrà essere inferiore, superiore, o uguale al punteggio ottenuto in trentesimi, a seconda della valutazione della prova orale stessa.
** E` fatta salva la facoltà del docente di richiedere che lo studente sostenga in ogni caso una prova orale. In caso di rifiuto alla prova da parte dello studente l’esame non è superato.
A questo link la descrizione dettagliata delle regole dell'esame
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*Attenzione! Le mail a un professore si scrivono seguendo queste linee guida:
"Gentile Professor/Professoressa XXX,
sono uno studente/una studentessa del suo corso YYY, (specificando l'anno accademico)
<<CONTENUTO DELLA MAIL>>
La ringrazio della sua disponibilità,
cordiali saluti,
NOME E COGNOME"