Corso di GEOMETRIA 1
CdL in MATEMATICA [08400]
Università di Pavia
9 CFU (72 ore)
Orario: lunedì 14-16; martedì 14-16; giovedì 14-16, in aula E10.
Ricevimento: mercoledì 16-17 (oppure su appuntamento mandandomi una mail)
Esercitatore: Dr Sara Torelli
Obiettivi: Il corso si propone di introdurre gli studenti alle nozioni di base della topologia generale e della geometria proiettiva. Gli obiettivi di apprendimento del corso sono che gli studenti capiscano le strutture e le proprietà di base della topologia generale (aperti, chiusi, intorni, continuità, prodotti, connessione, compattezza, quozienti, assiomi di numerabilità, successioni e compattezza in spazi metrici) e della geometria proiettiva di base e sappiano svolgere esercizi di verifica di tali concetti e proprietà su esempi concreti. 
Esercizi: Foglio 1   Foglio2 
Link a degli utili esercizi di Topologia del Prof. Occhetta di Trento
Programma di massima:
Topologia generale:
Spazi metrici e continuità. Mertriche equivalenti. Proprietà degli aperti.
Spazi topologici; aperti, chiusi, intorni e nozioni collegate.
Lo spazio topologico associato ad uno spazi metrico: topologia metrizzabile.
Basi di uno spazio topologico. Lemma della base. 
Sistema fondamentale di intorni. 
Assiomi di numerabilità.
Classificazione dei punti (parte interna, chiusura, frontiera di un sottoinsieme)
Funzioni continue tra spazi topologici.
Assiomi di separazione: Spazi di Hausdorff o T2; spazi T1, T3 e T4.
Costruzione di spazi topologici:
-topologia di sottospazio;
-prodotto di spazi topologici;
-quoziente di uno spazio topologico modulo una relazione di equivalenza.
Spazi connessi; connessione e applicazioni continue.
Spazi compatti; compattezza e applicazioni continue.
Funzioni continue tra spazi di Hausdorff e/o compatti.
Successioni a valori in uno spazio topologico.
Caratterizzazione della compattezza per gli spazi metrici.
Completezza; completamento di uno spazio metrico.
Funzioni uniformemente continue tra spazi metrici.
*Teorema di Baire.
*Teorema di Ascoli.
Geometria affine e proiettiva:
Richiami sulle isometrie nel piano euclideo.
Spazi affini e affinità. Sottospazi affini e giacitura.
Teorema di Talete, Pappo e Desargues.
Introduzione alla geometria proiettiva. Motivazioni storiche.
Spazio proiettivo associato a uno spazio vettoriale (su un campo qualunque, ma con particolare riferimento al campo reale); 
sottospazi proiettivi; formula di Grassmann; coordinate omogenee.
Immersione del piano euclideo nel piano proiettivo reale.
Dualità, proiezione da un punto.
Proiettività; proprietà proiettive.
Cenni sulle curve algebriche affini e proiettive.
Coniche; classificazioni proiettiva e affine; polarità.
Cenni alle quadriche.
Cenno al "programma di Erlangen".

Riferimenti bibliografici:
Per la topologia: (in ordine di importanza)
- E. Sernesi, Geometria 2, seconda edizione, Bollati Boringhieri, Torino 2001 (selfie della vostra docente con il Prof. Sernesi)
- M. Manetti, Topologia, seconda edizione, Springer, Milano 2014 (foto della vostra docente con il Prof. Manetti)
- C. Kosniowski, Introduzione alla topologia algebrica, Zanichelli, Bologna 1988
- J. Munkres, Topology, Pearson (in inglese)
Per la geometria proiettiva:
- E. Sernesi, Geometria 1, seconda edizione, Bollati Boringhieri, Torino 2000

Esame: l'esame consta di una parte scritta e una orale, da svolgersi nella stessa sessione d'esame. Il programma su cui si basa l'esame è quello dell'ultimo anno accademico. Non si possono consultare libri o appunti o altro materiale durante lo scritto. L'esame orale consiste nella discussione dell’elaborato scritto, seguito da domande di teoria. Per essere ammessi alla prova orale è necessario aver ottenuto un punteggio di almeno 15/30 nella prova scritta. Gli orali sono pubblici e si svolgono di regola alla lavagna: venite a seguire qualche orale dei vostri colleghi!