Corso di GEOMETRIA 1
CdL in MATEMATICA [08400]

Università di Pavia
9 CFU (72 ore)
Ricevimento: su appuntamento mandandomi una mail
Esercitatore: Dr Sara Torelli
Obiettivi: Il corso si propone di introdurre gli studenti alle nozioni di base della topologia generale e della geometria affine e proiettiva. Gli obiettivi di apprendimento sono:
- che gli studenti capiscano le strutture e le proprietà di base della topologia generale (aperti, chiusi, intorni, continuità, prodotti, connessione, compattezza, quozienti, assiomi di numerabilità e di separazione, successioni e compattezza in spazi metrici) e della geometria affine, euclidea e proiettiva di base;
- che sappiano i teoremi principali, e la traccia delle loro dimostrazioni;
- che sappiano fare semplici verifiche teoriche; 
- che sappiano svolgere esercizi di verifica di tali concetti e proprietà su esempi concreti.  

Esami: (attenzione: le soluzioni che metto sono verbose, nelle mie intenzoni per aiutare la comprensione. Altre soluzioni sono possibili e parimenti valide. Il mio consiglio è di provare sempre prima a svolgere un esercizio per iscritto. Poi, di provare ancora; poi, di riprovare)
Esame del 26/09/19 soluzioni

 
Link a degli utili esercizi di Topologia del Prof. Occhetta di Trento
Programma di massimada D. Mumford, C. Series, and D. Wright, Indra’s Pearls,  Cambridge University Press, London and New York, 2002.
Topologia generale:
Spazi metrici e continuità. Mertriche equivalenti. Proprietà degli aperti.
Spazi topologici; aperti, chiusi, intorni e nozioni collegate.
Lo spazio topologico associato ad uno spazi metrico: topologia metrizzabile.
Basi di uno spazio topologico. Lemma della base. 
Sistema fondamentale di intorni. 
Assiomi di numerabilità.
Successioni a valori in uno spazio topologico.
Classificazione dei punti (parte interna, chiusura, frontiera di un sottoinsieme)
Funzioni continue tra spazi topologici.
Assiomi di separazione: Spazi di Hausdorff o T2; spazi T1, T3 e T4.
Topologia di sottospazio. Immersioni.
Prodotto di spazi topologici. Base canonica.
Spazi regolari, normali e loro proprietà.
Lemma di Urysohn e teorema di metrizzabilità di Uryshon.
Topologia quoziente. Quoziente di uno spazio topologico modulo una relazione di equivalenza.
Spazi compatti; compattezza e applicazioni continue.
Teorema di Tychonoff.
Caratterizzazione della compattezza per gli spazi metrici. Compattezza per successioni.
Successioni di Cauchy. Completezza; Estensione del teorema di Heine-Borel.
Cenni al completamento di uno spazio metrico. Cenni alla costruzione dei reali come completamento dei razionali (link)
Spazi connessi; connessione e applicazioni continue. Connessione per archi. Componenti connesse.
Geometria affine, euclidea e proiettiva:
Spazi affini e affinità. Sottospazi affini e giacitura.
Teorema di Talete, Pappo e Desargues.
Proprietà affini. Formula di Grassmann.
Richimi alla geometria affine in dimensione 2 e 3.
Geometria euclidea. Isometrie. Proprietà euclidee (congruenza).
Proiezioni.
Introduzione alla geometria proiettiva. Motivazioni storiche.
Spazio proiettivo associato a uno spazio vettoriale (su un campo qualunque, ma con particolare riferimento al campo reale);
sottospazi proiettivi; formula di Grassmann; coordinate omogenee.
Coordinate affini nello spazio proiettivo.
Teorema di Pappo proiettivo.
Proiezione da un punto.
Cenni sulla dualità.
Proiettività; proprietà proiettive.
Cenni sulle curve algebriche affini e proiettive.
Coniche; classificazioni proiettiva e affine.
Cenni alle quadriche.
 

Riferimenti bibliografici:
Per la topologia: (in ordine di importanza)
- E. Sernesi, Geometria 2, seconda edizione, Bollati Boringhieri, Torino 2001 (selfie della vostra docente con il Prof. Sernesi)
- M. Manetti, Topologia, seconda edizione, Springer, Milano 2014 (foto della vostra docente con il Prof. Manetti)
- C. Kosniowski, Introduzione alla topologia algebrica, Zanichelli, Bologna 1988
- J. Munkres, Topology, 2nd edition, Pearson (in inglese)
Per la geometria:
- E. Sernesi, Geometria 1, seconda edizione, Bollati Boringhieri, Torino 2000
- E. Fortuna, R. Frigerio, R. Pardini, Geometria Proiettiva, Esercizi e richiami di teoria, Springer Milano, 201

 
Esame: l'esame consta di una parte scritta e una orale, da svolgersi nella stessa sessione d'esame. Il programma su cui si basa l'esame è quello dell'ultimo anno accademico. Non si possono consultare libri o appunti o altro materiale durante lo scritto. L'esame orale si svolgerà di norma entro un paio di settimane dallo scritto. L'orale parte dalla discussione dell’elaborato scritto, seguito da domande di teoria e/o da semplici esercizi. Per essere ammessi alla prova orale è necessario aver ottenuto un punteggio di almeno 15/30 nella prova scritta. Gli orali sono pubblici e si svolgono di regola alla lavagna: venite a seguire qualche orale dei vostri colleghi!