Corso di GEOMETRIA 1
CdL in MATEMATICA [08400]
Università di Pavia
9 CFU (72 ore)
Obiettivi: Il corso si propone di introdurre gli studenti alle nozioni di base della topologia generale e della geometria proiettiva. Gli obiettivi di apprendimento del corso sono che gli studenti capiscano le strutture e le proprietà di base della topologia generale (aperti, chiusi, intorni, continuità, prodotti, connessione, compattezza, quozienti, assiomi di numerabilità, successioni e compattezza in spazi metrici) e della geometria proiettiva di base e sappiano svolgere esercizi di verifica di tali concetti e proprietà su esempi concreti. 
Programma di massima:
Topologia generale:
Spazi topologici; aperti, chiusi, intorni e nozioni collegate.
Lo spazio topologico associato ad uno spazi metrico.
Costruzione di spazi topologici: topologia di sottospazio; prodotto di spazi topologici; quoziente di uno spazio topologico modulo una relazione di equivalenza.
Funzioni continue; funzioni continue tra spazi metrici.
Spazi connessi; connessione e applicazioni continue.
Spazi compatti; compattezza e applicazioni continue.
Assiomi di separazione: Spazi di Hausdorff o T2; spazi T1, T3 e T4.
Funzioni continue tra spazi di Hausdorff e/o compatti.
Successioni a valori in uno spazio topologico. 
Caratterizzazione della compattezza per gli spazi metrici.
Completezza; completamento di uno spazio metrico.
Funzioni uniformemente continue tra spazi metrici.
*Teorema di Baire.
*Teorema di Ascoli.
Geomeria proiettiva:
Richiami sulle isometrie nel piano euclideo.
Introduzione alla geometria proiettiva.
Motivazioni storiche.
Spazio proiettivo associato a uno spazio vettoriale (su un campo qualunque, ma con particolare riferimento al campo reale); 
sottospazi proiettivi; coordinate omogenee.
Immersione del piano euclideo nel piano proiettivo reale.
Proiettività; proprietà proiettive.
Coniche; classificazioni proiettiva e affine; polarità.
Cenni alle quadriche.
Cenno al "programma di Erlangen".

Riferimenti bibliografici:
Per la topologia:
- C. Kosniowski, Introduzione alla topologia algebrica, Zanichelli, Bologna 1988
- M. Manetti, Topologia, seconda edizione, Springer, Milano 2014
- E. Sernesi, Geometria 2, seconda edizione, Bollati Boringhieri, Torino 2001.
- J. Munkres, Topology, Pearson (in inglese)
Per la geometria proiettiva:
- E. Sernesi, Geometria 1, seconda edizione, Bollati Boringhieri, Torino 2000
- Note fornite dalla docente.
Esame: l'esame consta di una parte scritta e una orale, da svolgersi nella stessa sessione. Il programma su cui si basa l'esame è quello dell'ultimo anno accademico. Non si possono consultare libri o appunti o altro materiale durante lo scritto. L'esame orale consiste nella discussione dell’elaborato scritto, seguito da domande di teoria. Per essere ammessi alla prova orale è necessario aver ottenuto un punteggio di almeno 15/30 nella prova scritta. Gli orali sono pubblici e si svolgono di regola alla lavagna: venite a seguire qualche orale dei vostri colleghi!