Obiettivi: Il corso si propone di introdurre gli studenti alle nozioni di base della topologia generale e della geometria affine e proiettiva. Gli obiettivi di apprendimento sono:
- che gli studenti capiscano le strutture e le proprietà di base della topologia generale (aperti, chiusi, intorni, continuità, prodotti, connessione, compattezza, quozienti, assiomi di numerabilità e di separazione, successioni e compattezza in spazi metrici) e della geometria affine, euclidea e proiettiva di base;
- che sappiano i teoremi principali, e la traccia delle loro dimostrazioni;
- che sappiano fare semplici verifiche teoriche; 
- che sappiano svolgere esercizi di verifica di tali concetti e proprietà su esempi concreti.  

Esami: (attenzione: le soluzioni che metto sono verbose, nelle mie intenzoni per aiutare la comprensione. Altre soluzioni sono possibili e parimenti valide. Il mio consiglio è di provare sempre prima a svolgere un esercizio per iscritto. Poi, di provare ancora; poi, di riprovare)

 

 

Link a degli utili esercizi di Topologia del Prof. Occhetta di Trento

Topologia generale:
Spazi metrici e continuità. Mertriche equivalenti. Proprietà degli aperti.
Spazi topologici; aperti, chiusi, intorni e nozioni collegate.
Lo spazio topologico associato ad uno spazi metrico: topologia metrizzabile.
Basi di uno spazio topologico. Lemma della base. 
Sistema fondamentale di intorni. 
Assiomi di numerabilità.
Successioni a valori in uno spazio topologico.
Classificazione dei punti (parte interna, chiusura, frontiera di un sottoinsieme)
Funzioni continue tra spazi topologici.
Assiomi di separazione: Spazi di Hausdorff o T2; spazi T1, T3 e T4.
Topologia di sottospazio. Immersioni.
Prodotto di spazi topologici. Base canonica.
Spazi regolari, normali e loro proprietà.
Lemma di Urysohn e teorema di metrizzabilità di Uryshon.
Topologia quoziente. Quoziente di uno spazio topologico modulo una relazione di equivalenza.
Spazi compatti; compattezza e applicazioni continue.
Teorema di Tychonoff.
Caratterizzazione della compattezza per gli spazi metrici. Compattezza per successioni.
Successioni di Cauchy. Completezza; Estensione del teorema di Heine-Borel.
Cenni al completamento di uno spazio metrico. Cenni alla costruzione dei reali come completamento dei razionali (link)
Spazi connessi; connessione e applicazioni continue. Connessione per archi. Componenti connesse.

Geometria affine, euclidea e proiettiva:
Spazi affini e affinità. Sottospazi affini e giacitura.
Teorema di Talete, Pappo e Desargues.
Proprietà affini. Formula di Grassmann.
Richimi alla geometria affine in dimensione 2 e 3.
Geometria euclidea. Isometrie. Proprietà euclidee (congruenza).
Proiezioni.
Introduzione alla geometria proiettiva. Motivazioni storiche.
Spazio proiettivo associato a uno spazio vettoriale (su un campo qualunque, ma con particolare riferimento al campo reale);
sottospazi proiettivi; formula di Grassmann; coordinate omogenee.
Coordinate affini nello spazio proiettivo.
Teorema di Pappo proiettivo.
Proiezione da un punto.
Cenni sulla dualità.
Proiettività; proprietà proiettive.
Cenni sulle curve algebriche affini e proiettive.
Coniche; classificazioni proiettiva e affine.
Cenni alle quadriche.

 

Per la topologia: (in ordine di importanza)
- E. Sernesi, Geometria 2, seconda edizione, Bollati Boringhieri, Torino 2001 (selfie della vostra docente con il Prof. Sernesi)
- M. Manetti, Topologia, seconda edizione, Springer, Milano 2014 (foto della vostra docente con il Prof. Manetti)
- C. Kosniowski, Introduzione alla topologia algebrica, Zanichelli, Bologna 1988
- J. Munkres, Topology, 2nd edition, Pearson (in inglese)

Per la geometria:
- E. Sernesi, Geometria 1, seconda edizione, Bollati Boringhieri, Torino 2000
- E. Fortuna, R. Frigerio, R. Pardini, Geometria Proiettiva, Esercizi e richiami di teoria, Springer Milano, 201

 

Esame: l'esame consta di una parte scritta e una orale, da svolgersi nella stessa sessione d'esame. Il programma su cui si basa l'esame è quello dell'ultimo anno accademico. Non si possono consultare libri o appunti o altro materiale durante lo scritto. L'esame orale si svolgerà di norma entro un paio di settimane dallo scritto. L'orale parte dalla discussione dell’elaborato scritto, seguito da domande di teoria e/o da semplici esercizi. Per essere ammessi alla prova orale è necessario aver ottenuto un punteggio di almeno 15/30 nella prova scritta. Gli orali sono pubblici e si svolgono di regola alla lavagna: venite a seguire qualche orale dei vostri colleghi!