Corso di GEOMETRIA 1
CdL in MATEMATICA [08400] Università di Pavia
6 CFU + 3 CFU di esercitazioni 
ORARIO: Lunedì 11-13, martedì 14-16, mercoledì 11-13, giovedì 14-16, aula E10.
C’è una pagina su Kiro in cui metto i link ad ogni lezione separatamente, per favore registratevi così ho tutti i vostri contatti. Caricherò onine (su una cartella Google Drive per cui riceverete l'invito entro il 9- scrivete se non vi arriva) in corrispondenza (più o meno) delle ore di lezione degli appunti corredati da audio, e dei video degli appunti con il commento.
Potremo anche fare del ricevimento telematico, scrivetemi quando avete un po' di dubbi (dopo averci pensato bene*) per fissare un appuntamento. Mi fa piacere incontrarvi di persona, potete anche accordarvi per fare un ricevimento in 4-5 persone.
Il corso comincia con un ripasso dei concetti di spazio affine ed euclideo visti nel corso di Algebra Lineare. Rivedeteli anche voi!
La referenza bibliografica per questi primi concetti è il Sernesi, Geometria 1.
Esercitatore: Dr.ssa Sara Torelli
Tutori: Irene Spelta
(questo tutorato comincerà in maggio) e Enea Riva (che svolge alcune soluzioni di esercizi in pdf, a cui trovate il link qui sotto)
Obiettivi: Il corso si propone di introdurre gli studenti alle nozioni di base della topologia generale e della geometria affine e proiettiva. Gli obiettivi di apprendimento sono:
- che gli studenti capiscano le strutture e le proprietà di base della topologia generale (aperti, chiusi, intorni, continuità, prodotti, connessione, compattezza, quozienti, assiomi di numerabilità e di separazione, successioni e compattezza in spazi metrici) e della geometria affine, euclidea e proiettiva di base;
- che sappiano i teoremi principali, e la traccia delle loro dimostrazioni;
- che sappiano fare semplici verifiche teoriche; 
- che sappiano svolgere esercizi di verifica di tali concetti e proprietà su esempi concreti.  

Diario del corso (inserisco i contenuti dettagliati delle lezioni che inserirò volta per volta su GoogleDrive)
Esercizi: metterò di volta in volta dei fogli di esercizi, che saranno molto simili a quelli dell'anno scorso. Attenzione, in data 16 marzo ho cambiato un po' il file del Foglio 1. E in data 26 ho cambiato il Foglio 2, l'esercizio 2 e il 3(c) erano sbagliati!
Alcune soluzioni (svolte da Enea Riva, tutore telematico):
Sulla pagine del corso dell'anno scorso trovate vecchi temi d'esame con soluzioni ed esercizi. Attenzione (1): le soluzioni che metto sono verbose, per aiutare la comprensione. Altre soluzioni - sia più stringate, sia a volte con ragionamenti diversi- sono possibili e
-se corrette- parimenti valide. Il mio consiglio è: prima di leggere la soluzione provate sempre a svolgere un esercizio per iscritto. Poi, provate ancora; poi, riprovate. Attenzione (2): rispetto all'anno passato, la parte di geometria affine euclidea e proiettiva è più corposa, e questo si rifletterà nei temi d'esame.
Link a degli utili esercizi di Topologia del Prof. Occhetta di Trento

Programma di massima
da D. Mumford, C. Series, and D. Wright, Indra’s Pearls,  Cambridge University Press, London and New York, 2002.
Geometria affine, euclidea e proiettiva:
Spazi affini e affinità. Sottospazi affini e giacitura. 
Sistemi di riferimento affini. Convessità.
Geometria affine in dimensione 2. Rette e loro rappresentazione. Fasci propri e impropri di rette. 
Teorema di Talete, Pappo e Desargues.
Geometria affine in dimensione 3. Piani, rette e loro rappresentazioni. Fasci propri e impropri di piani. Posizioni reciproche di due piani, piano-retta e due rette. 
Gruppo delle trasformazioni affini e suoi sottogruppi. Affinità in coordinate. Proprietà affini. La convessità è una proprietà affine.
Geometria euclidea. Sistemi di riferimento cartesiani. Cambiamenti di coordinate cartesiane. Isometrie. Isometrie in dimensione 2. Teorema di Chasles. Riflessini rispetto ad un iperpiano. Teorema di Cartan-Dieudonnè: ogni isometria è generata da al più n+1 riflessioni. Qui una referenza alla dimostrazione.
Proprietà euclidee (congruenza).
Introduzione alla geometria proiettiva. Motivazioni storiche.
Spazio proiettivo associato a uno spazio vettoriale (su un campo qualunque, ma con particolare riferimento al campo reale); coordinate omogenee. Sottospazi proiettivi e loro equazioni; formula di Grassmann e sue conseguenze. Definizione di un insieme di punti in posizione generale.
Carte affini nello spazio proiettivo. Chiusura proiettiva di un sottospazio.
Proiezione da un punto su un iperpiano che non lo contiene.
Teorema di Pappo proiettivo. 
Cenni sulla dualità.
Proiettività; proprietà proiettive.
Curve algebriche affini, euclidee e proiettive.
Coniche; classificazioni proiettiva, affine ed euclidea.
Cenni alle quadriche.
Topologia generale:
Spazi metrici e continuità. Mertriche equivalenti. Proprietà degli aperti.
Spazi topologici; aperti, chiusi, intorni e nozioni collegate.
Lo spazio topologico associato ad uno spazi metrico: topologia metrizzabile.
Basi di uno spazio topologico. Lemma della base. 
Sistema fondamentale di intorni. 
Assiomi di numerabilità.
Successioni a valori in uno spazio topologico.
Classificazione dei punti (parte interna, chiusura, frontiera di un sottoinsieme)
Funzioni continue tra spazi topologici.
Assiomi di separazione: Spazi di Hausdorff o T2; spazi T1, T3 e T4.
Topologia di sottospazio. Immersioni.
Prodotto di spazi topologici. Base canonica.
Spazi regolari, normali e loro proprietà.
Lemma di Urysohn e teorema di metrizzabilità di Uryshon
Topologia quoziente. Quoziente di uno spazio topologico modulo una relazione di equivalenza.
Spazi compatti; compattezza e applicazioni continue. 
Teorema di Tychonoff.
Caratterizzazione della compattezza per gli spazi metrici. Compattezza per successioni.
Successioni di Cauchy. Completezza; Estensione del teorema di Heine-Borel.
Cenni al completamento di uno spazio metrico. Cenni alla costruzione dei reali come completamento dei razionali (link)
Spazi connessi; connessione e applicazioni continue. Connessione per archi. Componenti connesse. Componenti connesse per archi.

Riferimenti bibliografici:
Per la geometria:
- E. Sernesi, Geometria 1, seconda edizione, Bollati Boringhieri, Torino 2000
- E. Fortuna, R. Frigerio, R. Pardini, Geometria Proiettiva, Esercizi e richiami di teoria, Springer Milano, 2011 (foto della vostra docente dcon la Prof.ssa Pardini)
- (divulgativo) M.D.T. Cornalba, Piccola introduzione alla geometria proiettiva, link
-
 Richter-Gebert J. (2011) Pappos’s Theorem: Nine Proofs and Three Variations. In: Perspectives on Projective Geometry. Springer, Berlin, Heidelberg (una introduzione divulgativa alla geometria proiettiva incentrata sul teorema di Pappo euclideo e proiettivo- si trova scaricabile online su researchgate)
Per la topologia: (in ordine di importanza)
- E. Sernesi, Geometria 2, seconda edizione, Bollati Boringhieri, Torino 2001 (selfie della vostra docente con il Prof. Sernesi) 
- M. Manetti, Topologia, seconda edizione, Springer, Milano 2014 (foto della vostra docente con il Prof. Manetti)
- C. Kosniowski, Introduzione alla topologia algebrica, Zanichelli, Bologna 1988
- J. Munkres, Topology, 2nd edition, Pearson (in inglese)

Esame: l'esame consta di una parte scritta e una orale, da svolgersi nella stessa sessione d'esame. Il programma su cui si basa l'esame è quello dell'ultimo anno accademico. Non si possono consultare libri o appunti o altro materiale durante lo scritto. L'esame orale si svolgerà di norma entro un paio di settimane dallo scritto. L'orale parte di regola dalla revisione dell’elaborato scritto, seguito da domande di teoria e/o da semplici esercizi. Per essere ammessi alla prova orale è necessario aver ottenuto un punteggio di almeno 15/30 nella prova scritta. Gli orali sono pubblici e si svolgono di regola alla lavagna: venite a seguire qualche orale dei vostri colleghi!

*vorrei evitare il seguente dialogo: Studente: "Non ho capito questo esercizio sulla connessione." Io: "Bene, sa cosa significa che uno spazio è connesso? Così vediamo cosa dobbiamo verificare" Studente "No". Fare un esercizio sulla proprietà %$& richiede come condizione necessaria che si sappia che cosa è %$&! Se però non avete capito la proprietà %$&, dopo aver provato a capirla anche sul testo, sono ben felice di rispiegarvela.