SEMINARI di STUDIO sul FIBRATO DI HODGE

Seminari di studio di Geometria Algebrica a Milano e Pavia
a.a. 2015-2016

Organizzatori:

Elisabetta Colombo
Paola Frediani
Alessandro Ghigi
Ernesto Mistretta
Matteo Penegini
Lidia Stoppino


Calendario incontri:

26 ottobre 2015 (Matteo Penegini, Università degli Studi di Milano)
ore 15, aula C, Milano.
Generalita' su fibrazioni e positivita' di fibrati. Fibrato di Hodge, fibrati vettoriali ampi e nef (semipositivi).
Enunciato dei teoremi di decomposizione di Fujita.

2 novembre 2015 (Matteo Penegini, Università degli Studi di Milano)
ore 14, aula Beltrami, Pavia.
Diversi esempi espliciti di decomposizione di Fujita.

9 novembre 2015 (Ernesto Mistretta, Università degli Studi di Padova)
ore 15, aula C, Milano.
Fibrati a connessione piatta.
Fibrati unitari piatti e fibrati stabili (Narasimhan-Seshadri [NS], cenni su Donaldson [D] e Uhlenbeck-Yau).

16 novembre 2015 (Ernesto Mistretta, Università degli Studi di Padova)
ore 14, aula Beltrami, Pavia.
Esempi.
Fibrati vettoriali piatti e criteri per semiampiezza (Catanese-Dettweiler [CD1]).

23 novembre 2015 (Lidia Stoppino, Università degli Studi dell'Insubria) 
ore 14, aula C, Milano.
Il caso delle superfici fibrate (Beauville [B]).

30 novembre 2015 (Lidia Stoppino, Università degli Studi dell'Insubria)
ore 14, aula Beltrami, Pavia.
 La prima decomposizione di Fujita [F1].
Limitazioni dall'alto sul rango della parte banale (irregolarità relativa) nel caso di superfici fibrate [X1].

14 dicembre 2015 (Pietro Pirola, Università degli Studi di Pavia)
ore 14, aula C, Milano.
Introduzione al prodotto di Massey e alle sue applicazioni al fibrato di Hodge.

21 marzo 2016 (Paola Frediani, Università degli Studi di Pavia)
ore 14 in Aula Beltrami, Pavia.
Seconda decomposizione di Fujita 1.

11 aprile 2016 (Paola Frediani, Università degli Studi di Pavia)
ore 14, aula C, Milano.
Seconda decomposizione di Fujita 2.

18 aprile 2016 (Paola Frediani, Università degli Studi di Pavia)
14.30 Sala di Rappresentanza, Milano.
Seconda decomposizione di Fujita 3.

2 maggio 2016 (Alessandro Ghigi, Università degli Studi di Pavia)
15.00 Aula Beltrami, Pavia.
Sugli esempi di Catanese e Dettweiler di fibrazioni su curve con fibrato di Hodge non semiampio.

9 maggio 2016 (Alessandro Ghigi, Università degli Studi di Pavia)
14.00 Aula Beltrami, Pavia.
Sugli esempi di Catanese e Dettweiler di fibrazioni su curve con fibrato di Hodge non semiampio 2.

23 maggio 2016 (Alessandro Ghigi, Università degli Studi di Pavia)
14.00 Sala Riunioni al piano C, Pavia.
Sugli esempi di Catanese e Dettweiler di fibrazioni su curve con fibrato di Hodge non semiampio 3.


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INTRODUZIONE

 I recenti articoli di Catanese e Dettweiler hanno rifocalizzato l’attenzione sulla geometria del fibrato di Hodge f_*\omega_f associato ad una fibrazione f:X—> B di una varietà su una curva.
Ci sono due decomposizioni di questo fibrato:
La prima è in una parte banale, di rango h^1(f_*\omega_X), e una parte E con h^1(E + \omega_C)=0; è stata dimostrata da Fujita in [F1].
La seconda decomposizione è questa: il fibrato di Hodge si decompone in una somma diretta di una parte ampia e una parte piatta unitaria.
Questa dimostrazione è stata solo annunciata da Fujita in [F2] e viene dimostrata completamente in [CD1].
Negli articoli [CD1] e [CD2] poi si fanno dei controesempi al fatto che il fibrato i Hodge sia semiampio, con una caratterizzazione del caso semiampio in termini della finitezza della mappa di monodromia della parte piatta.
Entrambe le decomposizioni sono connesse a vari risultati e campi di ricerca passati e recenti, e in particolare con la congettura di Oort sulle varietà di Shimura.
Ci proponiamo di studiare questi argomenti.

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PROGRAMMA DI MASSIMA  Altri argomenti possibili:
Varietà di Shimura e congettura di Oort.
Collegamento tra decomposizione di Fujita e congettura di Oort.
Risultati di Colombo-Frediani-Ghigi-Penegini.
Rislutati di Lu e Zuo sulla congettura di Oort- il caso iperellittico e il caso generale. ---------------------------------

BIBLIOGRAFIA

[B] A. Beauville, appegndix to O. Debarre, Inégalités numériques pour les surfaces de type général. Bull. Soc. Math. France 110 (1982), no. 3, 319–346.
[BGN] M.A. Barja, V. González-Alonso, J.C. Naranjo. Xiao’s conjecture for general fibred surfaces. (preprint  arXiv: 1401.7502. to appear in J. Reine Angew. Math.)
[CD1] F. Catanese, M. Dettweiler, Answer to a question by Fujita on Variation of Hodge Structures (preprint arXiv 2013).
[CD2] F. Catanese, M. Dettweiler, Vector bundles on curves coming from Variation of Hodge Structures (preprint arXiv 2015).
[CLZ1] K. Chen, X. Lu, K. Zuo, A note on Shimura subvarieties in the hyperelliptic Torelli locus (preprint  arXiv 2015).
[CLZ2] K. Chen, X. Lu, K. Zuo, On the Oort conjecture for Shimura varieties of unitary and orthogonal types, In Memory of Professor Gang Xiao, (preprint 2014, to appear in Compositio).
[CFG] E. Colombo, P. Frediani, A. Ghigi, On totally geodesic submanifolds in the Jacobian locus, (preprint 2013, to appear in IJM).
[D] S. Donaldson, A new proof of a theorem of Narasimhan and Seshadri, J. Diff. Geom 18 (1983).
[FGP] P. Frediani, A. Ghigi, M. Penegini, Shimura varieties in the Torelli locus via Galois coverings, (preprint 2014, to appear in IMRN).
[F1] T. Fujita, On Kähler fiber spaces over curves, J. Math. Soc. Japan 30 (1978), no. 4, 779–794.
[F2] T. Fujita, The sheaf of relative canonical forms of a Kahler fiber space over a curve. Proc. Japan Acad. 54 (1978), 183-184.
[F3] T. Fujita, Katata Symposium. Progress in Math. 39 Birkhauser (1983), 600.
[F4] T. Fujita, Semipositive line bundles. J. Fac. Sci. Univ. Tokyo 30 (1983), 353-378.
[K] J. Kollár, Higher direct images of dualizing sheaves. I. Ann. of Math. (2) 123 (1986), no. 1, 11–42.
[LZ1] X. Lu, K. Zuo, On the slope of hyperelliptic fibrations with positive relative irregularity, arXiv:1311.7271.
[LZ2] X. Lu, K. Zuo, On the Oort conjecture for Shimura varieties of unitary and orthogonal types (preprint 2014).
[MO] B. Moonen and F. Oort, The Torelli locus and special subvarieties, Handbook of moduli. Vol. II, 549–594, Adv. Lect. Math. (ALM), 25, Int. Press, Somerville, MA, 2013.
[NS] M. S. Narasimhan. C. S. Seshadri, Stable and unitary vector bundles on a compact Riemann surface, Ann. of Math. 82 (1965) 540-64.
[P] P. Pirola, On a conjecture of Xiao. J. Reine Angew. Math. 431 (1992), 75–89.
[S] F. Serrano. Isotrivial fibred surfaces. Ann. Mat. Pura Appl. (4), 171:63–81, 1996.
[X1] G. Xiao. Fibered algebraic surfaces with low slope. Math. Ann., 276(3):449–466, 1987.
[X2] G. Xiao. Irregularity of surfaces with a linear pencil. Duke Math. J., 55(3):597–602, 1987.