Corso di GEOMETRIA 1
CdL in MATEMATICA [08400] Università di Pavia
6 CFU + 3 CFU di esercitazioni 
ORARIO: Lunedì 11-13, martedì 14-16, mercoledì 11-13, giovedì 14-16, aula E10.

Potremo anche fare del ricevimento telematico, scrivetemi quando avete un po' di dubbi (dopo averci pensato bene*) per fissare un appuntamento. Mi fa piacere incontrarvi di persona, potete anche accordarvi per fare un ricevimento in 4-5 persone.
Il corso comincia con un ripasso dei concetti di spazio affine ed euclideo visti nel corso di Algebra Lineare. Rivedeteli anche voi!
La referenza bibliografica per questi primi concetti è il Sernesi, Geometria 1.

Esercitatore: Dr.ssa Sara Torelli
Tutori: Irene Spelta (questo tutorato comincerà in maggio) e Enea Riva (che svolge alcune soluzioni di esercizi in pdf, a cui trovate il link qui sotto)

Obiettivi: Il corso si propone di introdurre gli studenti alle nozioni di base della topologia generale e della geometria affine e proiettiva. Gli obiettivi di apprendimento sono:
- che gli studenti capiscano le strutture e le proprietà di base della topologia generale (aperti, chiusi, intorni, continuità, prodotti, connessione, compattezza, quozienti, assiomi di numerabilità e di separazione, successioni e compattezza in spazi metrici) e della geometria affine, euclidea e proiettiva di base;
- che sappiano i teoremi principali, e la traccia delle loro dimostrazioni;
- che sappiano fare semplici verifiche teoriche; 
- che sappiano svolgere esercizi di verifica di tali concetti e proprietà su esempi concreti.  

Esercizi: metterò di volta in volta dei fogli di esercizi, che saranno molto simili a quelli dell'anno scorso. Il mio consiglio è: prima di leggere la soluzione provate sempre a svolgere un esercizio per iscritto. Poi, provate ancora; poi, riprovate. 

Foglio1  Foglio2  Foglio3  Foglio4  Foglio5

Soluzioni del Foglio 1 (Riva)  Soluzioni Foglio 2 (Riva)  Soluzioni Foglio 4 Alcune soluzioni al Foglio5 sono sul drive condiviso

Sulle isometrie  

Esercizi di Irene Spelta: Es1 (Sulla classificazione delle coniche)

Esercizi sulla parte di Topologia: (gli esercizi sono tanti, alcuni facili alcuni più impegnativi)

Topologia-1  Topologia-2  Topologia-3  Topologia-4  Topologia-5

Alcune soluzioni:

Sol-Top1  Altre soluzioni Foglio1 (Riva) Sol-Top2 Sol-Top3  Sol-Top4 (Riva) Altre soluzioni del foglio 4  Sol-Top5 (Riva)
Altre soluzioni sono sul drive condiviso svolte dalla Dottoressa Torelli.

Esempi-esercizi dulle proprietà di numerabilità, separazione e sulla separabilità.

Esercizi di Irene Spelta:

Temi d'esame svolti:

Esame del 19 giugno 2020    Soluzioni

Esame dell'8 luglio 2020    Soluzioni

Esame dell'8 settembre 2020   Soluzioni

Esame del 23 settembre 2020   Soluzioni

Esame del 22 gennaio 2021   Soluzioni

Esame del 17 febbraio 2021   Testo e Soluzioni

Link a degli utili esercizi di Topologia del Prof. Occhetta di Trento

Geometria affine, euclidea e proiettiva:
Spazi affini e affinità. Sottospazi affini e giacitura. 
Sistemi di riferimento affini. Convessità.
Geometria affine in dimensione 2. Rette e loro rappresentazione. Fasci propri e impropri di rette. 
Teorema di Talete, Pappo e Desargues.
Geometria affine in dimensione 3. Piani, rette e loro rappresentazioni. Fasci propri e impropri di piani. Posizioni reciproche di due piani, piano-retta e due rette. 
Gruppo delle trasformazioni affini e suoi sottogruppi. Affinità in coordinate. Proprietà affini. La convessità è una proprietà affine.
Geometria euclidea. Sistemi di riferimento cartesiani. Cambiamenti di coordinate cartesiane. Isometrie. Isometrie in dimensione 2. Teorema di Chasles. Riflessini rispetto ad un iperpiano. Teorema di Cartan-Dieudonnè: ogni isometria è generata da al più n+1 riflessioni. Qui una referenza alla dimostrazione.
Proprietà euclidee (congruenza).
Introduzione alla geometria proiettiva. Motivazioni storiche.
Spazio proiettivo associato a uno spazio vettoriale (su un campo qualunque, ma con particolare riferimento al campo reale); coordinate omogenee. Sottospazi proiettivi e loro equazioni; formula di Grassmann e sue conseguenze. Definizione di un insieme di punti in posizione generale.
Carte affini nello spazio proiettivo. Chiusura proiettiva di un sottospazio.
Proiezione da un punto su un iperpiano che non lo contiene.
Teorema di Pappo proiettivo. 
Cenni sulla dualità.
Proiettività; proprietà proiettive.
Curve algebriche affini, euclidee e proiettive.
Coniche; classificazioni proiettiva, affine ed euclidea.
Cenni alle quadriche.

Topologia generale:
Spazi metrici e continuità. Mertriche equivalenti. Proprietà degli aperti.
Spazi topologici; aperti, chiusi, intorni e nozioni collegate.
Lo spazio topologico associato ad uno spazi metrico: topologia metrizzabile.
Basi di uno spazio topologico. Lemma della base. 
Sistema fondamentale di intorni. 
Assiomi di numerabilità.
Successioni a valori in uno spazio topologico.
Classificazione dei punti (parte interna, chiusura, frontiera di un sottoinsieme)
Funzioni continue tra spazi topologici.
Assiomi di separazione: Spazi di Hausdorff o T2; spazi T1, T3 e T4.
Topologia di sottospazio. Immersioni.
Prodotto di spazi topologici. Base canonica.
Spazi regolari, normali e loro proprietà.
Lemma di Urysohn e teorema di metrizzabilità di Uryshon. (senza dimostrazione)
Topologia quoziente. Quoziente di uno spazio topologico modulo una relazione di equivalenza.
Spazi compatti; compattezza e applicazioni continue. 
Teorema di Tychonoff.
Caratterizzazione della compattezza per gli spazi metrici. Compattezza per successioni.
Successioni di Cauchy. Completezza; Estensione del teorema di Heine-Borel.
Cenni al completamento di uno spazio metrico. Cenni alla costruzione dei reali come completamento dei razionali (link)
Spazi connessi; connessione e applicazioni continue. Connessione per archi. Componenti connesse. Componenti connesse per archi.

Per la geometria:
- E. Sernesi, Geometria 1, seconda edizione, Bollati Boringhieri, Torino 2000
- E. Fortuna, R. Frigerio, R. Pardini, Geometria Proiettiva, Esercizi e richiami di teoria, Springer Milano, 2011 (foto della vostra docente con la Prof.ssa Rita Pardini)
- (divulgativo) M.D.T. Cornalba, Piccola introduzione alla geometria proiettiva, link
- Richter-Gebert J. (2011) Pappos’s Theorem: Nine Proofs and Three Variations. In: Perspectives on Projective Geometry. Springer, Berlin, Heidelberg (una introduzione divulgativa alla geometria proiettiva incentrata sul teorema di Pappo euclideo e proiettivo- si trova scaricabile online su Researchgate)
- a proposito di geometria proeittiva, dualità, Pappo proiettivo, potreste guardare questo colloquium del Prof Fabrizio Catanese al KAIST (Corea).
- link a delle ottime dispense sulla calssificazione delle coniche della della Prof.ssa F. Tovena.

Per la topologia: (in ordine di importanza)
- E. Sernesi, Geometria 2, seconda edizione, Bollati Boringhieri, Torino 2001 (selfie della vostra docente con il Prof. Sernesi) 
- M. Manetti, Topologia, seconda edizione, Springer, Milano 2014 (foto della vostra docente con il Prof. Manetti)
- C. Kosniowski, Introduzione alla topologia algebrica, Zanichelli, Bologna 1988
- L. Steen and J. A. Seebach, Counterexamples in Topology (1970, 2nd ed. 1978) (la bibbia dei controesempi topolgici, con esempi di spazi con le più bizzarre topologie possibili)
- J. Munkres, Topology, 2nd edition, Pearson (in inglese)

Esame: l'esame consta di una parte scritta e una orale, da svolgersi nella stesso appello. Il programma su cui si basa l'esame è quello dell'ultimo anno accademico. Non si possono consultare libri o appunti o altro materiale durante lo scritto. L'esame orale si svolgerà di norma entro un paio di settimane dallo scritto. L'orale parte di regola dalla revisione dell’elaborato scritto, seguito da domande di teoria e/o da semplici esercizi. Per essere ammessi alla prova orale è necessario aver ottenuto un punteggio di almeno 15/30 nella prova scritta. Gli orali sono pubblici e si svolgono di regola alla lavagna: venite a seguire qualche orale dei vostri colleghi! 

Per gli appelli di giugno e luglio, lo scritto è su Kirotesting con controllo via Zoom (registrato), dovete collegarvi a zoom con smartphone o tablet e riprendere voi lateralmente e il monitor del pc. Vi mando il testo dell'esame via mail dopo aver iniziato la videochiamata Zoom e controllato la correttezza delle vostre postaszioni. Alla fine scannerizzate in un unico file pdf le soluzioni e le caricate su Kirotesting. Se avete problemi con la modalità  (ad esempio se non avete uno smartphone o tablet) DOVETE avvertirmi prima per cercare una soluzione. Gli orali saranno su Zoom, da tenersi nello stesso appello, di norma entro un paio di settimane dallo scritto. Dovete trovarvi in una stanza da soli. Se avete un tablet con penna condividerete lo schermo, se avete una lavagnetta che si può inquadrare bene ancora meglio, scriverete lì, altrimenti scriverete su fogli bianchi e -a mia richiesta- mi mostrerete i fogli. 

*vorrei evitare il seguente dialogo: Studente: "Non ho capito questo esercizio sulla connessione." Io: "Bene, sa cosa significa che uno spazio è connesso? Così vediamo cosa dobbiamo verificare" Studente "No". Fare un esercizio sulla proprietà %$& richiede come condizione necessaria che si sappia che cosa è %$&! Se però non avete capito la proprietà %$&, dopo aver provato a capirla anche sul testo, sono ben felice di rispiegarvela.