Corso di GEOMETRIA 1
CdL in MATEMATICA [08400] Università di Pavia
9 CFU 
ORARIO: 

Obiettivi: Il corso si propone di introdurre gli studenti alle nozioni di base della topologia generale e della geometria affine e proiettiva. Gli obiettivi di apprendimento sono:
- che gli studenti capiscano le strutture e le proprietà di base della topologia generale (aperti, chiusi, intorni, continuità, prodotti, connessione, compattezza, quozienti, assiomi di numerabilità e di separazione, successioni e compattezza in spazi metrici) e della geometria affine, euclidea e proiettiva di base;
- che sappiano i teoremi principali, e la traccia delle loro dimostrazioni;
- che sappiano fare semplici verifiche teoriche; 
- che sappiano svolgere esercizi di verifica di tali concetti e proprietà su esempi concreti.  

Esercizi: Il mio consiglio è: *prima di leggere la soluzione* provate sempre a svolgere un esercizio per iscritto. Poi, provate ancora; poi, riprovate. Attenzione, aggiorno gli esercizi di volta in volta che trattiamo gli argomenti.

Geometria-1  Geometria-2  Geometria-3  Geometria-4

Altri Esercizi svolti sulla geometria:

Sulle isometrie  

Esercizi sulla parte di àopologia: (gli esercizi sono tanti, alcuni facili alcuni più impegnativi)

Topologia-1  Topologia-2  Topologia-3  Topologia-4  Topologia-5

Richiami sulla cardinalità degli insiemi del Prof Bramanti. Numerabilità e cardinalità dell'insieme delle parti.

Esempi-esercizi sulle proprietà di numerabilità, separazione e sulla separabilità.

Sulla pagine del corso dell'anno scorso trovate alcune soluzioni agli esercizi proposti, altri esercizi con soluzioni e vecchi temi d'esame con soluzioni ed esercizi.
Attenzione (1): le soluzioni dei temi d'esame che metto sono verbose, per aiutare la comprensione. Altre soluzioni - sia più stringate, sia a volte con ragionamenti diversi- sono possibili e -se corrette- parimenti valide. Attenzione (2): i programmi cambiano un po' di anno in anno e questo si rifletterà nei temi d'esame.

Geometria affine, euclidea e proiettiva:
Spazi affini e affinità. Sottospazi affini e giacitura. 
Sistemi di riferimento affini. Convessità.
Geometria affine in dimensione 2. Rette e loro rappresentazione. Fasci propri e impropri di rette. 
Teorema di Talete, Pappo e Desargues.
Geometria affine in dimensione 3. Piani, rette e loro rappresentazioni. Fasci propri e impropri di piani. Posizioni reciproche di due piani, piano-retta e due rette. 
Gruppo delle trasformazioni affini e suoi sottogruppi. Affinità in coordinate. Proprietà affini. La convessità è una proprietà affine.
Geometria euclidea. Sistemi di riferimento cartesiani. Cambiamenti di coordinate cartesiane. Isometrie. Isometrie in dimensione 2. Teorema di Chasles. Riflessini rispetto ad un iperpiano. Teorema di Cartan-Dieudonnè: ogni isometria è generata da al più n+1 riflessioni. Qui una referenza alla dimostrazione.
Proprietà euclidee (congruenza).
Introduzione alla geometria proiettiva. Motivazioni storiche.
Spazio proiettivo associato a uno spazio vettoriale (su un campo qualunque, ma con particolare riferimento al campo reale); coordinate omogenee. Sottospazi proiettivi e loro equazioni; formula di Grassmann e sue conseguenze. Definizione di un insieme di punti in posizione generale.
Carte affini nello spazio proiettivo. Chiusura proiettiva di un sottospazio. 
Proiezione da un punto su un iperpiano che non lo contiene. 
Teorema di Pappo proiettivo. 
Cenni sulla dualità.
Proiettività; proprietà proiettive.
Curve algebriche affini, euclidee e proiettive.
Coniche; classificazioni proiettiva, affine ed euclidea.
Cenni alle quadriche.

Topologia generale:
Spazi metrici e continuità. Mertriche equivalenti. Proprietà degli aperti.
Spazi topologici; aperti, chiusi, intorni e nozioni collegate.
Lo spazio topologico associato ad uno spazi metrico: topologia metrizzabile.
Basi di uno spazio topologico. Lemma della base. 
Sistema fondamentale di intorni. 
Assiomi di numerabilità.
Successioni a valori in uno spazio topologico.
Classificazione dei punti (parte interna, chiusura, frontiera di un sottoinsieme)
Funzioni continue tra spazi topologici.
Assiomi di separazione: Spazi di Hausdorff o T2; spazi T1, T3 e T4.
Topologia di sottospazio. Immersioni.
Prodotto di spazi topologici. Base canonica.
Spazi regolari, normali e loro proprietà.
Lemma di Urysohn e teorema di metrizzabilità di Uryshon. 
Topologia quoziente. Quoziente di uno spazio topologico modulo una relazione di equivalenza.
Spazi compatti; compattezza e applicazioni continue. 
Teorema di Tychonoff.
Caratterizzazione della compattezza per gli spazi metrici. Compattezza per successioni.
Successioni di Cauchy. Completezza; Estensione del teorema di Heine-Borel.
Cenni al completamento di uno spazio metrico. Cenni alla costruzione dei reali come completamento dei razionali (link)
Spazi connessi; connessione e applicazioni continue. Connessione per archi. Componenti connesse. Componenti connesse per archi.

Per la geometria:
- TESTO ADOTTATO: E. Sernesi, Geometria 1, seconda edizione, Bollati Boringhieri, Torino 2000  (selfie della vostra docente con il Prof. Sernesi) 
- ottimo testo con esercizi e un ottimo richiamo di teoria di Geometria Proiettiva: E. Fortuna, R. Frigerio, R. Pardini, Geometria Proiettiva, Esercizi e richiami di teoria, Springer Milano, 2011 (foto della vostra docente con la Prof.ssa Rita Pardini)
- (divulgativo) M.D.T. Cornalba, Piccola introduzione alla geometria proiettiva, link
- Richter-Gebert J. (2011) Pappos’s Theorem: Nine Proofs and Three Variations. In: Perspectives on Projective Geometry. Springer, Berlin, Heidelberg (una introduzione divulgativa alla geometria proiettiva incentrata sul teorema di Pappo euclideo e proiettivo- si trova scaricabile online su Researchgate)
- a proposito di geometria proeittiva, dualità, Pappo proiettivo, potreste guardare questo colloquium del Prof Fabrizio Catanese al KAIST (Corea).
- link a delle ottime dispense sulla classificazione delle coniche della della Prof.ssa F. Tovena.

Per la topologia: 
- TESTO ADOTTATO: E. Sernesi, Geometria 2, seconda edizione, Bollati Boringhieri, Torino 2001
- M. Manetti, Topologia, seconda edizione, Springer, Milano 2014 (foto della vostra docente con il Prof. Manetti)
- C. Kosniowski, Introduzione alla topologia algebrica, Zanichelli, Bologna 1988
- L. Steen and J. A. Seebach, Counterexamples in Topology (1970, 2nd ed. 1978) (la bibbia dei controesempi topologici, con esempi di spazi con le più bizzarre topologie possibili)
- J. Munkres, Topology, 2nd edition, Pearson (in inglese)

Esame: l'esame consta di una parte scritta e una orale, da svolgersi nella stesso appello. Il programma su cui si basa l'esame è quello dell'ultimo anno accademico. Non si possono consultare libri o appunti o altro materiale durante lo scritto. L'esame orale si svolgerà di norma entro un paio di settimane dallo scritto. L'orale parte di regola dalla revisione dell’elaborato scritto, seguito da domande di teoria e/o da semplici esercizi. Per essere ammessi alla prova orale è necessario aver ottenuto un punteggio di almeno 15/30 nella prova scritta. Per le modalità precise di quest'anno, fate riferimento alla pagina KIRO.

esame 16/06/21   Soluzioni

esame 12/07/21   Soluzioni

esame 07/09/21   Soluzioni

*vorrei evitare il seguente dialogo: Studente: "Non ho capito questo esercizio sulla connessione." Io: "Bene, sa cosa significa che uno spazio è connesso? Così vediamo cosa dobbiamo verificare" Studente "No, io voglio solo capire come si fa questo esercizio sulla connessione". Fare un esercizio sulla proprietà %$& richiede come condizione necessaria che si sappia che cosa è %$&! Se però non avete capito la proprietà %$&, dopo aver provato a capirla anche sul testo, o non avete capito come si usa, sono felice di rispiegarvela.