Geometria Superiore a.a. 2014/15
Primo semestre del corso di laurea magistrale in Matematica,
Universita' degli studi dell'Insubria, sede di Como.
Orari lezioni: martedi' ore 11-13
mercoledi' ore 10-13
Aula: V3P terzo piano via Valleggio.
Questo corso e' una introduzione alle superfici di Riemann e alle curve algebriche complesse. Le Superfici di Riemann sono uno degli oggetti piu' importanti della matematica moderna, e vengono studiate abbondantemente sia con un approccio topologico-differenziale (si pensi allo spazio di Teichmuller), sia algebro-geometrico (si pensi allo spazio di moduli di curve). Inoltre, sono le protagoniste della Teoria delle Stringhe in Fisca Teorica.
La teoria delle Superfici di Riemann e' inoltre una bellissima applicazione dell'analisi complessa.
In questo corso l'approccio che abbiamo e' algebro-geometrico. Uno degli scopi che
otterremo e' anche di introdurre idee basilari della geometria algebrica.
Breve storia delle SdR di E. Sernesi
TESTI consigliati
il principale testo che seguiremo e'
R. Miranda, Algebraic Curves and Complex Surfaces, Graduate Studies in Mathematics, Vol 5, 1991.
Una buona referenza per le curve piane (dove c'e' molto molto piu' di quello che faremo noi) e':
Gerd Fisher, Plane Algebraic Curves, AMS, 2001
Una buona referenza per i primi rudimenti di geometria proiettiva e':
Edoardo Sernesi, Geometria 1, Bollati Boringhieri.
Altri testi utili:
R. Narasihman, Compact Riemann Surfaces, Lectures in Mathematics, Birkauser-Verlag, 1992.
R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Springer- Verlag (il capitolo sulle curve) Per un ripasso di analisi complessa, oltre che le ottime dispense del prof Guarneri, si possono guardare le dispense (appunti delle lezioni) di AC1 del Prof. Sernesi a questo link
Sul sito di Sernesi trovate molti appunti utili sulle SdR
Link al diario delle lezioni ed esercizi
immagine da D. Mumford, C. Series, and D. Wright, Indra’s Pearls,
Cambridge University Press, London and New York, 2002.
Esercizi:
ottobre 2014
novembre 2014
Programma di massima del corso: Superfici di Riemann (SdR), definizioni di base: carte complesse e strutture complesse. Primi esempi.
Struttura topologica e differenziale di una Sdr. Genere di una SdR compatta.
Spazi proiettivi complessi.
Curve algebriche piane affini e proiettive. SdR associata.
Funzioni olomorfe e meromorfe su una SdR.
Mappe olomorfe tra SdR. Molteplicita' in un punto.
La somma degli ordini di una funzione meromorfa e' nulla.
Mappe tra SdR compatte. Grado.
Caratteristica di Eulero e triangolazioni. Teorema di Hurwitz (dimostrazione topologica).
Automorfismi e azioni di gruppo su una SdR. Monodromia.
Superfici iperellittiche.
Integrazione su SdR: Forme differenziali. Operazioni sulle forme. Lemma di Poincare' e Dolbeaux. Teorema di Stokes. Teorema dei residui.
Divisori e funzioni meromorfe.
Accenno a fibrati vettoriali complessi su una SdR e alla corrispondenza tra divisori e fibrati di rango 1.
Equivalenza lineare di divisori, spazi di forme e di funzioni associati a un divisore. Divisori e mappe nello spazio proiettivo. Divisori molto ampi. Curve algebriche.
Teorema di Riemann Roch. DIMOSTRAZIONE
Applicazioni di Riemann Roch: una SdR e' una curva algebrica. Ogni curva algebrica e' proiettiva. Teorema di Clifford. Mappa canonica, curve iperellittiche. Forma geometrica di Riemann-Roch. Conto dei parametri di Riemann.
Grado di curve proiettive. Monodromia dei divisori iperpiani. Lemma di posizione uniforme, e Lemma di posizione generale. Bound di Castelnuovo. Curve di genere massino. Punti di inflessione e punti di Weierstrass.
Omologia, periodi e Jacobiana.
La mappa di Abel-Jacobi. Dimostrazione del Teorema di Abel.
Opzionale: fasci su curve. Introduzione alla coomologia di Chech. Gruppo di Picard dei fasci invertibili e corrispondenza tra divisori e fasci invertibili.
Modalita' d'esame: L'esame sara' orale; una parte sara' lo svolgimento di uno o piu' degli esercizi che compariranno qui sotto (non a vostra scelta).
Esercizi per l'esame
Link ai vecchi esercizi per l'esame dell'a.a. 2010/11.