Complementi di Geometria Superiore/Istituzioni di Geometria  a.a. 2015/2016, 8 CFU

Secondo semestre c.d.l. in Matematica e del c.d.l. magistrale in Matematica
Università degli studi dell'Insubria, sede di Como.
Questo corso e' una introduzione alla Topologia Algebrica.

Prerequisiti: i contenuti dei corsi di Algebra Lineare e Geometria, Algebra 1, Geometria 1, Algebra 2.

 
TESTI consigliati 

I principali testi che seguiremo sono:
  • E. Munkres, Topology (per la prima parte del corso).
  • E. Munkres, Elements Of Algebraic Topology (per l'omologia)
  • A. Hatcher - Algebraic Topology, Cambridge University Press (liberamente scaricabile da internet)
  • C. Kosniowski - Introduzione alla topologia Algebrica, Zanichelli (questo non ha l'omologia).
Altro materiale utile (ne aggiungero' via via):
  • A concise course in Algebraic Topology, di J.P. May reperibile a questo link
  • W.S. Massey, A basic course in Algebraic Topology.
  • (per i prerequisiti e la prima parte del corso) M. Manetti, Topologia.
  • (per i prerequisiti) J. Dugundji. Topology. Boston: Allyn and Bacon, 1966. 
  • Link a sito con info su classificazione di superfici e teorema della curva di Jordan. 
 
 

Programma di massima: 
 
Complementi sul gruppo fondamentale.
Gruppi liberi, gruppi per generatori e relazioni; proprietà universale.
Teorema di Van Kampen: dimostrazione completa. 
Van Kampen generalizzato (Munkres).
Applicazioni.

Classificazione delle superfici compatte e connesse.
Definizione di varietà topologica. 
Poligoni etichettati.
Ogni superficie ottenuta come quoziente di un poligono etichettato è omeomorfa a una somma connessa di tori o ad una somma connessa di piani proiettivi (taglia e cuci). 
Triangolazione di una superficie.
Gruppo fondamentale delle superfici compatte e connesse. Orientabilità.
Caratteristica di Eulero Poincarè di superfici.
 
Teoria dei rivestimenti.
Definizioni e proprietà. Sollevamento dei cammini e delle omotopie.
Lemma di sollevamento.
Trasformazioni del rivestimento e azioni di gruppo. Monodromia.
Rivestimento universale per gli spazi semi localmente semplicemente connessi.
Classificazione dei rivestimenti. Rivestimenti normali.
Teoria dell'omologia:
Simplessi; omologia simpliciale. 
Invarianza per omotopia.
Omologia di superfici compatte connesse.
Omologia relativa ed escissione.
Sequenze esatte
Applicazioni. Il grado. 
La sequenza di Mayer-Vietoris. 
Omologia con coefficienti. 
Omologia e il gruppo fondamentale. 
Alcune applicazioni classiche.
Cenni su: il punto di vista formale: assiomi per l'omologia.
 
Argomenti opzionali (e per eventuali tesine):
  • Omologia singolare. Approssimazione simpliciale. Equivalenza delle due omologie.
  • Teoremi di separazione nel piano. 
  • Dimostrazioni alternative del Teorema di Van Kampen.
  • Teoria dei nodi.
  • Teoria dei grafi.



Modalita' d'esame:  L'esame sara' scritto e orale.