This course is an introduction to Algebraic Geometry. 
The objects studied in Algebraic Geometry are algebraic varieties, which are loosely speaking geometric objects locally defined by common zeroes of polynomials. The study of the geometric properites of algebraic varieties is mainly carried out by means of Commutative Algebra. 
In this course we will introduce, at a basic level, some of the main concepts and tools of Algebraic Geometry, such as: 
- affine and projective varieties; 
- Algebraic tangent spaces, singularities 
- resolution of singularieties: blow up;
- maps between varieties and fields of fractions; 
- maps in projective spaces and linear systems; 
A great focus will be given to concrete classical constructions and computations, mainly in the case of complex projective curves and surfaces.
The course will be as much as possible self-contained: the results in Commutative Algebra needed will be recalled during the course.

The following courses of the Laurea Triennale are necessary prerequisites: Algebra Lineare e Geometria, Geometria 1, Algebra 1 and Algebra 2. The course Metodi Matematici per la Fisica also provides a convenient background on complex analysis.

Teaching methods
Lessons and home exercises to be discussed together.

Corsi elementari di Geometria Algebrica:
Klaus Huleck, Elementary Algebraic Geometry, SML 20, AMS.
Igor Dolgachev, Introduction to Algebraic Geometry
Miles Reid, Undergraduate Algebraic Geometry, LMS.

Corsi un po' più avanzati:
Robin Hartshorne, Algebraic Geometry, Springer.
Igor Shafarevich - "Basic Algebraic Geometry" vol. 1, Springer.
David Mumford, Algebraic Geometry 1, Springer.
Joe Harris, Algebraic Geometry: A First Course, Springer.
Philip Griffiths, Joe Harris, Principles of Algebraic Geometry, Wiley
Dispense di Marco Manetti (foto della vostra docente con Manetti)

Libri utili di Algebra Commutativa:
M.F. Atiyah, I.G. Mac Donald, Introduzione all'algebra commutativa, Feltrinelli 1991. (c'è ovviamente acnhe la versione inglese)
H. Matsumura, Commutative Algebra, MLN, Benjamin/Cummings Publishing Co.
O. Zariski, P. Samuel, Commutative Algebra 1, Springer GTM 

Esercizi2  Consegna: mercoledì 5 aprile (consegnate quello che avete fatto)

Esercizi 3 Consegna: mercoledì 19 aprile

Esercizi 4 Consegna: mercoledì 16 maggio

Esercizi 5 Consegna: lunedì 5 giugno

 

 

Teorema di Lüroth 

 

4 luglio 14-16 aula 4.14 Leoni, Lemma di Yoneda e rappresentabilità di funtori e fasci.

13 luglio 11-13 aula 4.14 Gagliardi: Rette in superfici cubiche di P^3. Razionalità di tali superfici.

13 luglio 14-16 aula 4.14 Pozzoli: Mappe dominanti  da P^1 a curve proiettive: Teorema di Lüroth e formula di Riemann-Hurwitz 

01/03/17 ore 11-13 (2 ore)
Introduzione al corso; sottospazi affini di K^n; classificazione euclidea ed affine delle coniche in R^2.
Classificazione proiettiva.

07/03/17 ore 10-13 (3 ore)
Spazi affini su un campo K. Topologia di Zariski. (insiemi algebrici V(I), proprietà dell'applicazione V)
Intermezzo algebrico: anelli Noetheriani e teorema della base di Hilbert.

08/03/17 ore 11-13 (2 ore)
L'ideale I(X) di un sottoinsieme X dello spazio affine. Proprietà dell'applicazione I. Richiami sul radicale di un ideale. I(X) è radicale.
Spazi topologici Noetheriani; irriducibilità. Decomposizione in irriducibili in uno spazio Noetheriano.

14/03/17 ore 10-13 (3 ore)
Teorema degli zeri di Hilbert e conseguenze.                                                                                      Amelia (Emmy) Noether
Risultati di algebra: Lemma di Nakayama, Lemma di preparazione e Teorema di Normalizzazione di Noether.    

15/03/17 ore 11-13 (2 ore)
Significato geometrico della normalizzazione di Noether. 
Discussione sulla dimensione delle varietà algebriche. Dimensione combinatorica di uno spazio topologico (referenza: dispense Manetti).

21/03/17 ore 10-13 (3 ore)
Risoluzione del primo foglio di esercizi.

22/03/17 ore 11-13 (2 ore)
Fine risoluzione esercizi.
Dimensione di uno spazio in un punto. La dimensione di un sottospazio è sempre minore o uguale alla dimensione dello spazio.

28/03/17 ore 10-13 (3 ore)
Lemma di proiezione (dispense Manetti), risultati sulle proiezioni normalizzate rispetto ad insiemi algebrici,
TEOREMA: se X in A^n è un chiuso irriducibile, dim(X)+codim(X,A^n)=n (in particolare A^n ha dimensione n). 

29/03/17 ore 11-13 (2 ore)
Il caso delle ipersuperfici: X insieme algebrico in A^n ha dimensione n-1 se e solo se è una ipersuperficie.
Verifica passaggi tralasciati nei risultati precedenti usando la teoria dei Risultanti (dispense Manetti).

04/04/17 ore 11-13 (2 ore)
Funzioni polinomiali su varietà. Anello delle funzioni coordinate di una varietà affine. Verifica che sono tutte e sole le k-algebre finitamente generate e ridotte.
Mappe polinomiali. Pullback di una mappa polinomiale.

05/04/17 ore 11-13 (2 ore)
Due varietà affini sono ismorfe se e solo se hanno anelli di coordinate ismorfi. Esempi. 
Campo delle funzioni razionali su una varietà irriducibile. Dominio di definizione, proprietà.
Anelli locali.

11/04/17 ore 10-13 (3 ore)
Anelli locali e anelli di frazioni. Definizioni e proprietà (Ref: Atiyah-McDonald).
Fascio delle funzioni su una varietà affine.
Anello locale delle funzioni regolari in un punto.
Esercizi 8 e 11 di Huleck pagg. 59-60.

12/04/17 ore 11-13 (2 ore)
Esercizi sugli anelli locali.
Mappe razionali tra varietà affini.
Corrispondenza tra mappe razionali dominanti ed estensioni di campi tra i campi di funzioni razionali.

19/04/17 11-13 (3 ore)
Varietà quasi-affini e loro morfismi. Varietà V_f: verifica che sono isomorfe a varietà affini.
Spazio proiettivo. Polinomi omogenei. 
Anelli graduati e ideali omogenei. 

21/04/17 ore 9-11 (2 ore)
Varietà proiettive e topologia di Zariski. Nullstellensatz proiettivo. Aperti affini coordinati.
Proiettivizzazione di una varietà affine.

26/04/17 11-13 (2 ore)
Funzioni razionali su varietà proiettive. Anelli di frazioni di anelli graduati. Campo delle funzioni razionali k(V) su una varietà proiettiva irriducibile V.
Anello delle coordinate proiettive S(V).
Verifica che k(V)=(S(V)_(0))_0.  

28/04/17 9-12 (3 ore)
Fascio delle funzioni regolari O su una varietà proiettiva irriducibile; anelli locali delle funzioni regolari in un punto.
Verifica che O(V)=k (le funzioni ovunque regolari sono solo le costanti).

02/05/17 10-13 (3 ore)
Mappe razionali e estensioni di campo: equivalenza tra categorie. Mappe birazionali. Esempi ed esercizi.

03/05/17 11-13 (2 ore)
Varietà quasi-proiettive e mappe razionali e morfismi tra di esse.
Teorema dell'elemento primitivo. Applicazione: ogni varietà quasi-proiettiva è birazionalmente equivalente ad una ipersuperficie affine.

10/05/17 11-13 (2 ore)
Proiezioni da un punto e da un sottospazio: definizioni, esempi e proprietà. 

11/05/17 (2 ore) Scoppiamento di A^2 in un punto. Definizione, propietà ed esempi. 

16/05/17 (3 ore) Dimensione di varietà proiettive (ref. Manetti sez 9.4) 

17/05/17 (2 ore) Continuazione: dimensione di varietà proiettive (ref. Manetti sez 9.4) 

23/05/17 (3 ore) Continuazione: dimensione di intersezioni in P^n.
Il punto di vista algebrico: altezza di un ideale primo e  dimensione di Krull di un anello, e relazioni con la dimensione di varietà affini.
La dimensione di una varietà affine è il grado di trascendenza del suo campo delle frazioni su k. Il caso proiettivo.

26/05/17 (2 ore) Spazio tangente immerso di una varietà affine irriducibile. Il caso di una ipersuperficie. Proprietà.

30/05/17 (1 ora)  Spazio tangente intrinseco. Properietà.

31/05/17 (2 ore) Differenziale di una mappa.