Geometria I (Topologia Generale e introduzione alla Topologia Algebrica) a.a. 2017/18
Orari: martedì 14-16 (non faremo sempre queste ore, e faremo comunque esercizi)
mercoledì 9-11, 14-17 (esercitazioni di regola)
giovedì 9-11
Obiettivi Comprensione del concetto di topologia e degli esempi fondamentali in casi concreti (topologia euclidea su R^n, topologia discreta, concreta, cofinita). Acquisizione delle principali nozioni di topologia generale, in particolare il concetto di sottospazio, di base, di continuità, di ssitema fondamentale di intorni, di topologia prodotto e quoziente, i concetti di connessione, compattezza e proprietà di separazione (T0, T1, ... T4) e di numerabilità. Capacità di riconoscere in casi concreti la validità delle principali proprietà topologiche di una spazio e la continuità di mappe tra spazi. Comprensione del significato di omoptopia, di retrazione e retrazione di deformazione, e del concetto di gruppo fondamentale. Acquisizione di alcune tecniche di calcolo basilari per il gruppo fondamentale di uno spazio.
Prerequisiti
E' consigliabile aver seguito almeno (e sostenuto gli esami di): Algebra Lineare e Geometria, Algebra 1, Analisi1, Analisi2.
Contenuti e programma del corso:
Programma di massima:
Topologia generale:
Richiami su spazi metrici.
Spazi topologici e loro basi. Topologie metrizzabili.
Parte interna, chiusura, frontiera di un sottoinsieme e loro proprietà.
Topologia di sottospazio.
Spazi di Hausdorff.
Continuità di funzioni tra spazi topologici.
Sistemi fondamentali di intorni e continuità in un punto.
Topologia prodotto. Assiomi di separazione.
Topologia quoziente e identificazioni.
Azioni di gruppo su uno spazio topologico.
Connessione e connessione per archi.
Compattezza.
Assiomi di numerabilità.
Numerabilità, successioni e compattezza per successioni.
Elementi di topologia algebrica:
Omotopia di funzioni e retrazioni di deformazione.
Equivalenza omotopica di spazi topologici.
Gruppo fondamentale di uno spazio puntato. Dipendenza dal punto base. Invarianza topologica.
Il gruppo fondamentale della circonferenza.
Una versione semplificata del teorema di Seifert Van Kampen. Applicazione: il gruppo fondamentale delle sfere.
Testi e materiale didattico
I libri che seguiremo sono:
1) M. Manetti, Topologia. Springer, 2014 (seconda edizione). (
foto della vostra docente con Manetti)
2) C. Kosniowski, Introduzione alla topologia algebrica. Zanichelli, 2004 (l'ultima edizione).
Altre ottime referenze sono:
Senesi, Geometria 2, Bollati Boringhieri (
selfie della vostra docente con Sernesi)
Munkres, Topology (in inglese).
Esercizi
Esercizio sulla contrazione ad un punto del bordo del disco con i conti espliciti.
Esercizi di Natale (per gli studenti iscritti al corso di quest'anno)
Il regolamento è questo: alla prima lezione dopo le vacanze di Natale chi vuole consegna le sue soluzioni.
Per questa prova avrete 0-1-2 punti bonus sulla votazione dello scritto purché lo scritto sia sufficiente (>=14).
Consegna: entro giovedì 18 gennaio.
Soluzioni
Punteggi
Nelle pagine degli altri anni trovate links ad esercizi e ad altri vecchi temi d'esame.
Orario di ricevimento: su appuntamento. Mandatemi una mail. Venite a ricevimento!
Esercitatore: Dr. Davide Bianchi
Modalita' d'esame: L'esame consta di una parte scritta e una parte orale, che si devono svolgere insieme o in esami contigui. Il programma su cui si basa l'esame è quello dell'ultimo anno accademico. Non si possono consultare libri o appunti o altro materiale durante lo scritto. L'esame orale consiste nella discussione dell’elaborato scritto, seguito da domande di teoria. Per essere ammessi alla prova orale è necessario aver ottenuto un punteggio di almeno 14/30 nella prova scritta. Gli orali sono pubblici: venite a seguire qualche orale dei vostri colleghi!