Topics on Advanced Geometry A/Istituzioni di Geometria Superiore A a.a. 2017/2018, 8 CFU
Secondo semestre c.d.l. in Matematica e del c.d.l. magistrale in Matematica
Orario: lunedì 13-17 e giovedì 11-13.
Questo corso e' una introduzione alla Topologia Algebrica.
Prerequisiti: i contenuti dei corsi di Algebra Lineare e Geometria, Algebra 1, Geometria 1, Algebra 2.

TESTI consigliati 

principali testi che seguiremo sono:
  • E. Munkres, Topology (per la prima parte del corso).
  • E. Munkres, Elements Of Algebraic Topology (per l'omologia)
  • A. Hatcher - Algebraic Topology, Cambridge University Press (liberamente scaricabile da internet)
  • C. Kosniowski - Introduzione alla topologia Algebrica, Zanichelli (questo non ha l'omologia).
Altro materiale utile (ne aggiungero' via via):
  • Ronald Brown, Topology and Groupoids, Deganwy, UK. (utile per la teoria delle categorie, il  gruppoide fondamentale, il funtore gruppoide e le generalizzazioni di Van Kampen).
  • A concise course in Algebraic Topology, di J.P. May reperibile a questo link
  • W.S. Massey, A basic course in Algebraic Topology.
  • (per i prerequisiti e la prima parte del corso) M. Manetti, Topologia.
  • (per i prerequisiti) J. Dugundji. Topology. Boston: Allyn and Bacon, 1966. 
  • Link a sito con info su classificazione di superfici e teorema della curva di Jordan. 
Esercizi:
Foglio 1 (presentazioni di gruppi per generatori e relazioni, Seifert- Van Kampen, classificazione delle superfici)
Foglio 2 (rivestimenti e loro classificazione)
 
VECCHI ESERCIZI: 

Programma di massima:
 
Complementi sul gruppo fondamentale.
Piccolo compendio di teoria delle categorie: funtorialità del gruppo fondamentale.
Il gruppoide fondamentale e la sua funtorialità.
Gruppi liberi, gruppi per generatori e relazioni; proprietà universale.
Teorema di Van Kampen: dimostrazione completa. 
Van Kampen generalizzato (Munkres). Cenni alle ulteriori generalizzazioni, enunciato dal punto di vista delle categorie.
Applicazioni.
Cenni alla classificazione delle superfici compatte e connesse.
Teoria dei rivestimenti.
Definizioni e proprietà. Sollevamento dei cammini e delle omotopie.
Lemma di sollevamento.
Trasformazioni del rivestimento e azioni di gruppo. Monodromia.
Rivestimento universale per gli spazi semi localmente semplicemente connessi.
Classificazione dei rivestimenti. Rivestimenti normali.
Teoria dell'omologia:
Simplessi; omologia simpliciale. 
Invarianza per omotopia.
Omologia di superfici compatte connesse.
Omologia relativa ed escissione.
Sequenze esatte
Applicazioni. Il grado. 
La sequenza di Mayer-Vietoris. 
Omologia con coefficienti. 
Omologia e il gruppo fondamentale. 
Alcune applicazioni classiche.
Cenni su: il punto di vista formale: assiomi per l'omologia.
Argomenti opzionali (e per i seminari):
  • Teoremi di tipo van Kampen per il gruppoide fondamentale (ref. Ronald Brown, Topology and Groupoids).
  • Omologia singolare. Approssimazione simpliciale. Equivalenza delle due omologie.
  • Teoremi di separazione nel piano (il troema della curva di Jordan). 
  • Classificazione delle superfici compatte.
  • Dimostrazioni alternative del Teorema di Van Kampen.
  • Dimostrazione del teorema di Nielsen–Schreier (ogni sottogruppo di un gruppo libero è libero) e della formula di Nielsen–Schreier sul rango usando il gruppo fondamentale di grafi seguendo Munkres, Topology, ch14 sec.85.
  • Teoria dei nodi.
  • Teoria dei grafi.

Modalita' d'esame:  L'esame sara' scritto e orale. 
Per gli studenti della Laurea Triennale scritto e orale standard, per gli studenti della specialistica scritto, discussione dello scritto e un seminario di approfondimento per tutti i colleghi.